Quando si manda una mail ad un un indirizzo di gruppo di Google Apps, tutti la ricevono tranne il mittente.

E' normale che chi scrive non riceve la mail oppure se è un errore?

è vero, quando si scrive ad un gruppo (supportoweb è un gruppo) da una email che appartiene al gruppo e che è nello stesso dominio del gruppo, Google Mail non invia copia del messaggio al mittente essendo il messaggio già in copia dentro alla posta inviata.

Medesimo comportamento avviene di norma quando via Google Mail si invia una email a se stessi allo stesso indirizzo su Google Mail, la mail sembra non arrivare in quanto il server di Google deduplica le email e quindi conserva solo la copia in uscita.

Tutto questo ovviamente è valido SOLO se si usa come server SMTP google stesso.